Question

19．已知如圖，圓P經(jīng)過點A（-4，0），點B（6，0），交y軸于點C，∠ACB=45°，連結(jié)AP、BP．
（1）求圓P的半徑；
（2）求OC長；
（3）在圓P上是否存在點D，使△BCD的面積等于△ABC的面積？若存在求出點D坐標(biāo)；若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠APB=2∠ACB=90°，AB=10，△PAB為等腰直角三角形，即可求得圓P的半徑；
（2）作PN⊥OC，PM⊥x軸，則ON=PM=$\frac{1}{2}$AB=5，再根據(jù)勾股定理求出CN的長度，則OC=ON+NC；
（3）分兩種情況，①當(dāng)D與A重合時，易得D（-4，0），②當(dāng)D與A重合時，根據(jù)等底等高的性質(zhì)，過A作BC的平行線，與圓P的交點即為所求的點D．

解答 解：（1）∵A（-4，0），B（6，0）
∴AB=10，
∵∠ACB=45°，
∴∠APB=90°，
∴△PAB為等腰直角三角形，且PA=PB，
∴PA²+PB²=AB²，
解得PA=PB=$5\sqrt{2}$，
∴圓P的半徑為$5\sqrt{2}$；
（2）作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，連接PC，
∵△PAB為等腰直角三角形，
∴PM=AM=BM$\frac{1}{2}$AB=5，
∴OM=AM-AO=1，
∴ON=PM=5，PN=OM=1，
在Rt△PNC中有：CN=$\sqrt{{PC}^{2}-P{N}^{2}}$=$\sqrt{50-1}$7，
∴OC=ON+NC=5+7=12，
∴OC=12；
（3）∵S_△BCD=S_△ABC，D為圓P上一點，
 ①當(dāng)D與A重合時，仍滿足條件，
∴D₁（-4，0），
②當(dāng)D與A不重合時，過A作BC的平行線，與圓P的交點，即為所求的點D，
∵AD∥BC
∴S_△BCD=S_△ABC（等底等高），
  作AG⊥BC于G，作DH⊥BC于H，DQ⊥x軸于Q，
∵cos∠ABC=$\frac{OB}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin∠ABC=$\frac{OC}{BC}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AG=AB•cos∠ABC=$2\sqrt{5}$，
∵DH=AG=AB•sin∠ABC=$4\sqrt{5}$，
∵∠DBC=∠DAC=∠ACB=45°，
∴BH=DH=$4\sqrt{5}$，
∴AD=GH=BH-BG=$2\sqrt{5}$，
∴DQ=AD•sin∠DAQ=AD•sin∠ABC=4，
  AQ=AD•cos∠DAQ=AD•cos∠ABC=2，
∴OQ=OA+AQ=6，
∴D₂（-6，4）
綜上：D點的坐標(biāo)為（-4，0）或（-6，4）．

點評 此題考查了圓心角與圓周角之間的關(guān)系，圓中線段長度的求法，三角形面積轉(zhuǎn)移及動點問題．