Question

如圖，⊙O中，AB是直徑，AC是弦，CD⊥AB于D，將△ACD沿AC折疊得到△ACE，延長(zhǎng)EC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若CE=3，sin∠P=

3

5

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：計(jì)算題

分析：（1）連結(jié)OC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠1=∠2，∠E=∠ADC=90°，而∠2=∠3，則∠1=∠3，于是可判斷AE∥OC，利用平行線的性質(zhì)得∠OCP=∠E=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到PE是⊙O的切線；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得CE=CD=3，再利用等角的余角相等得∠4=∠P，則sin∠4=sinP=

3

5

，在Rt△OCD中，根據(jù)正弦的定義得sin∠4=

OD

OC

=

3

5

，于是可設(shè)OD=3x，OC=5x，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出CD=4x，則4x=3，解得x=

3

4

，所以O(shè)C=5x=

15

4

．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵△ACD沿AC折疊得到△ACE，
∴∠1=∠2，∠E=∠ADC=90°，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AE∥OC，
∴∠OCP=∠E=90°，
∴OC⊥PC，
∴PE是⊙O的切線；
（2）解：∵△ACD沿AC折疊得到△ACE，
∴CE=CD=3，
∵∠4+∠5=90°，∠P+∠5=90°，
∴∠4=∠P，
∴sin∠4=sinP=

3

5

，
在Rt△OCD中，sin∠4=

OD

OC

=

3

5

，
設(shè)OD=3x，則OC=5x，
∴CD=

OC2-OD2

=4x，
∴4x=3，解得x=

3

4

，
∴OC=5x=

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了折疊的性質(zhì)和勾股定理．