Question

如圖，A、B、C在同一直線上，且△ABD，△BCE都是等邊三角形，AE交BD于點M，CD交BE于點N，求證：
（1）∠BDN=∠BEM；
（2）△BMN是等邊三角形．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）由△ABD與△BCE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩條邊對應相等，兩個角相等都為60°，利用SAS即可得到△ABE與△DBC全等，進而得到∠BDN=∠BEM；
（2）由第一問△ABE與△DBC全等，利用全等三角形的對應角相等得到一對角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定義得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA可得出△EMB與△CNB全等，利用全等三角形的對應邊相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出△BMN為等邊三角形．

解答：證明：（1）∵等邊△ABD和等邊△BCE，
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC=120°，
在△ABE和△DBC中，

AB=DB   ∠ABE=∠DBC   BE=BC

，
∴△ABE≌△DBC（SAS）
∴∠BDN=∠BEM；
（2）∵△ABE≌△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
又∵∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，
即∠MBE=∠NBC=60°，
在△MBE和△NBC中，

∠AEB=∠DCB   EB=CB   ∠MBE=∠NBC

，
∴△MBE≌△NBC（ASA），
∴BM=BN，∠MBE=60°，
∴△BMN為等邊三角形．

點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質，以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．同時做第二問時注意利用第一問已證的結論．