Question

17．如圖，已知直線l₁∥l₂∥l₃，且l₁，l₂之間的距離為1，l₂，l₃之間的距離為2，點A、C分別在直線l₂，l₁上，
（1）利用直尺和圓規(guī)作出以AC為底的等腰△ABC，使得點B落在直線l₃上（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若（1）中得到的△ABC為等腰直角三角形，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）作出線段AC的垂直平分線，使得點B落在直線l₃上，連結(jié)AB，BC，△ABC即為所求；
（2）過點C作CD⊥l₃于D，過點A作AE⊥l₃于E，根據(jù)同角的余角相等求出∠ABE=∠BCD，然后利用“角角邊”證明△ABE和△BCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=BD，再利用勾股定理列式求出BC的長，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的$\sqrt{2}$倍解答．

解答 解：（1）如圖1所示：△ABC即為所求．

（2）如圖2，過點C作CD⊥l₃于D，過點A作AE⊥l₃于E，

則∠BCD+∠CBD=90°，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABE+∠CBD=180°-90°=90°，
∴∠ABE=∠BCD，
在△ABE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BDC}\\{∠ABE=∠BCD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD（AAS），
∴AE=BD，
∵l₁，l₂之間的距離為1，l₂，l₃之間的距離為2，
∴BD=2，CD=1+2=3，
在Rt△BCD中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{26}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的畫法，平行線間的距離，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．