Question

3．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，3），線段AB垂直于y軸，垂足為B，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B落在點(diǎn)C處，直線BC與x軸的交手點(diǎn)D．
（1）試求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線AD交x軸于點(diǎn)H，y軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P從H點(diǎn)出發(fā)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)線段PH長(zhǎng)為t，過(guò)P點(diǎn)作MN∥x軸，交直線BC于M，交直線AD于N，若線段MN的長(zhǎng)為y，試用含有t的代數(shù)式表示y；
（3）當(dāng)y=$\frac{14}{3}$時(shí)，在y軸上是否存在一點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、P、F為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)X，使直線XA與坐標(biāo)軸夾角所得的正切值是2？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出X的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)將題目條件中的2改為$\frac{1}{2}$，并直接寫(xiě)出X的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）已知A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)AB的長(zhǎng)以及線段AB的旋轉(zhuǎn)條件確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定直線BC的解析式，進(jìn)一步能求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P、M、N三點(diǎn)都在平行于x軸的直線上，所以這三點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同．根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征來(lái)求y與t的關(guān)系式；
（3）需要分類(lèi)討論：∠PAF=135°和∠PFA=135°兩種情況來(lái)求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（4）存在，如圖4，過(guò)D點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，由A（2，3），于是得到AC=3，AB=2，根據(jù)直線XA與坐標(biāo)軸夾角所得的正切值是2即可得到X₁（3.5，0），X₂（0.5，0），X₃（0，2），X₄（0，4）．

解答 解：（1）如圖1，根據(jù)題意知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1）．

設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=mx+n．
易得$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{2m+n=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=-1}\end{array}\right.$．
所以直線BC的表達(dá)式為y=-x+3．
當(dāng)y=0時(shí)，0=-x+3，x=3．
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）．

（2）如圖2．

∵點(diǎn)D在直線BC上，
∴直線BD的解析式為y=-x+3．
∵A（2，3），D（3，0），
∴直線AD的解析式為y=-3x+9．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，9-t）．
∵M(jìn)N∥x軸，
∴點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)都為（9-t），
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為（t-6），點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為$\frac{t}{3}$，
∴y=$\frac{t}{3}$-（t-6）=-$\frac{2t}{3}$+6；

（3）如圖3，

由題意可得，-$\frac{2t}{3}$+6=$\frac{14}{3}$，則t=2．
可求tan∠ADC=tan∠APB=$\frac{1}{2}$．
∴∠ACD=135°，
∴需要分兩種情況：
①若∠PAF=135°時(shí)，$\frac{PA}{CD}$=$\frac{PF}{AD}$，
∴PF=10，
∴F₁（0，-3）；
②若∠PFA=135°時(shí)，同理PF=2，則F₂（0，5），

（4）存在，
如圖4，過(guò)D點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，

∵A（2，3），
∴AC=3，AB=2，
∴X₁（3.5，0），X₂（0.5，0），X₃（0，2），X₄（0，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題．解題時(shí)，利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)．解答（3）、（4）題時(shí)要分類(lèi)討論，以防漏解．