Question

10．已知：如圖，在△ABC中，點D為邊BC上的點，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，∠BAD=∠CAE．
（1）求證：△BAC∽△DAE；
（2）當∠BAC=90°時，求證：EC⊥BC．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=∠CAE可得∠DAE，由$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$得到$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$，則根據(jù)相似三角形的判定方法可得△BAC∽△DAE；
（2）根據(jù)相似三角形的性質，由△BAC∽△DAE得到∠B=∠ACE，再由三角形內(nèi)角和得到∠B+∠ACB=90°，所以∠ACB+∠ACB=90°，于是可判斷EC⊥BC．

解答 （1）證明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，即∠DAE，
∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$，
∴△BAC∽△DAE；
（2）解：∵△BAC∽△DAE，
∴∠B=∠ACE，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，
∴EC⊥BC．

點評 本題考查了三角形相似的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；在運用相似三角形的性質時主要利用相似比計算相應線段的長和得到對應角相等．