Question

已知銳角△ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，M是線段BC的中點，連接DM，EM．
（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周長；
（2）若∠A=60°，求證：∠DME=60°；
（3）若BC²=2DE²，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

考點：直角三角形斜邊上的中線,等腰三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質求出DM=

1

2

BC=4，EM=

1

2

BC=4，即可求出答案；
（2）根據(jù)三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質求出DM=BM，EM=CM，推出∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，根據(jù)三角形內角和定理求出即可；
（3）求出EM=

2

EN，解直角三角形求出∠EMD度數(shù)，根據(jù)三角形的內角和定理求出即可．

解答：解：（1）∵CD，BE分別是AB，AC邊上的高，
∴∠BDC=∠BEC=90°，
∵M是線段BC的中點，BC=8，
∴DM=

1

2

BC=4，EM=

1

2

BC=4，
∴△DME的周長是DE+EM+DM=3+4+4=11；

（2）證明：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵∠BDC=∠BEC=90°，M是線段BC的中點，
∴DM=BM，EM=CM，
∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，
∴∠EMC+∠DMB=180°-120°=60°，
∴∠DME=180°-120°=60°；

（3）解：過M作MN⊥DE于N，
∵DM=EM，
∴EN=DN=

1

2

DE，∠ENM=90°，
∵EM=DM=

1

2

BC，DN=EN=

1

2

DE，BC²=2DE²，
∴（2EM）²=2（2EN）²，
∴EM=

2

EN，
∴sin∠EMN=

EN

EM

=

2

2

，
∴∠EMN=45°，
同理∠DMN=45°，
∴∠DME=90°，
∴∠DMB+∠EMC=180°-90°=90°，
∵∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，
∴∠ABC+∠ACB=

1

2

（180°-∠DMB+180°-∠EMC）=135°，
∴∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB）=45°．

點評：本題考查了等腰三角形的判定和性質，三角形的內角和定理，解直角三角形的性質，直角三角形斜邊上中線性質的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，本題綜合性比較強，有一定的難度，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．