Question

在△ABC中，∠ACB=α，∠BAC的外角平分線與∠ABC的外角平分線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，若BC=mBE．
（1）當(dāng)α=90°，m=1時(shí)，探究DE和BE的數(shù)量關(guān)系．
（2）求

DE

BE

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CG于點(diǎn)G，作DF⊥CA于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出DF=DE=DG，故可得出四邊形DFCG是正方形，再由全等三角形的判定定理得出△DGB≌△DEB，故可得出BE=BG，AE=AF，再根據(jù)m=1可知點(diǎn)B是CG的中點(diǎn)，由此可得出結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CG于點(diǎn)G，連接CD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=DG=DF，由HL定理得出△DBE≌△DBG，故可得出BE=BG，DE=DG，再根據(jù)BC=mBE可知BC=mBG．根據(jù)HL定理得出△CDF≌△CDG，故CD是∠ACB的平分線，故∠DCG=

1

2

∠AB=

α

2

，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CG于點(diǎn)G，作DF⊥CA于點(diǎn)F，
∵∠BAC的外角平分線與∠ABC的外角平分線交于點(diǎn)D，DE⊥AB，
∴DF=DE=DG，
∵∠C=90°，
∴四邊形DFCG是正方形．
在△DGB與△DEB中，

∠DEB=∠DGB=90° DE=DG BD=BD

，
∴△DGB≌△DEB（HL），
∴BE=BG，AE=AF，
∵m=1，
∴點(diǎn)B是CG的中點(diǎn)，
∴BG=

1

2

DG，即BE=

1

2

DE；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CG于點(diǎn)G，連接CD，
∵∠BAC的外角平分線與∠ABC的外角平分線交于點(diǎn)D，
∴DE=DG=DF，
在Rt△DBE與Rt△DBG中，

DE=DG BD=BD

，
∴△DBE≌△DBG（HL），
∴BE=BG，DE=DG．
∵BC=mBE，
∴BC=mBG．
同理，△CDF≌△CDG，
∴CD是∠ACB的平分線，
∴∠DCG=

1

2

∠AB=

α

2

，
∴

DG

BC

=tan

α

2

，即

DE

(m+1)BE

=tan

α

2

，
解得

DE

BE

=（m+1）•tan

α

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是全等三角形的判定定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．