Question

19．如圖，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=3，sin∠BCD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，點P是對角線BD上一動點，過點P作PH⊥CD，重足為H．
（1）求證：∠BCD=∠BDC；
（2）如圖1，若以P為圓心，PB為半徑的圓和以H為圓心、HD為半徑的圓外切時，DP的長；
（3）如圖2，點E在BC延長線上，且滿足DP=CE，PE交DC于點F，若△ADH和△ECF相似，求DP的長．

Answer 1

分析 （1）作DQ⊥BC，在直角△CDQ中利用三角函數(shù)即可求解；
（2）設(shè)DP=x，當⊙P與⊙H外切時，PH=DH+BP，據(jù)此即可列方程求得；
（3）作PM∥BE，分△ADH∽△FCE和△ADH∽△ECF兩種情況進行討論，依據(jù)相似三角形的對應邊的比相等求解．

解答 解：（1）作DQ⊥BC，
∵BQ=AD=3，DQ=AB=4，
∴CD=$\frac{DQ}{sin∠BCD}$=2$\sqrt{5}$，CQ=2，
∴BC=5=BD，
∴∠BCD=∠BDC；

（2）設(shè)DP=x，則DH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x，PH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，BP=5-x．
當⊙P與⊙H外切時，PH=DH+BP，
即$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x+5-x，
解得：x=$\frac{25-5\sqrt{5}}{4}$；

（3）作PM∥BE．
則PM=DP=x，DH=HM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x，
由$\frac{PM}{CE}$=$\frac{FM}{CF}$=1，CF=FM=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$x，
當△ADH∽△FCE時，$\frac{AD}{CF}=\frac{DH}{CE}$，
即$\frac{3}{\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}x}{x}$，
解得：x=-10（舍去）．
當△ADH∽△ECF時，$\frac{AD}{CE}$=$\frac{DH}{CF}$，
即$\frac{3}{x}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}x}{\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}x}$，
解得：x=$\frac{-3+\sqrt{69}}{2}$．
∴DP的長是$\frac{-3+\sqrt{69}}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)以及相似三角形的判定與性質(zhì)和圓外切的性質(zhì)，正確分成△ADH∽△FCE和△ADH∽△ECF兩種情況進行討論，求得x的值是關(guān)鍵．