Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂B₁、A₃B₃C₃B₂，…，按如圖的方式放置，點(diǎn)A₁、A₂、A₃，…和點(diǎn)B₁、B₂、B₃，…分別在直線y=kx+b和x軸上，已知A₁（1，1），直線y=kx+b和x軸的夾角為15°，則正方形A₃B₃C₃B₂的面積是

 

；正方形A_nB_nC_nB_n-1的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)正方形的軸對(duì)稱性，由C₁、C₂的坐標(biāo)可求A₁、A₂的坐標(biāo)，將A₁、A₂的坐標(biāo)代入y=kx+b中，得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，從而求直線解析式，由正方形的性質(zhì)求出OB₁，OB₂的長，設(shè)B₂G=A₃G=b，表示出A₃的坐標(biāo)，代入直線方程中列出關(guān)于b的方程，求出方程的解得到b的值，確定出A₃的坐標(biāo)，確定出正方形A₃B₃C₃B₂的面積，依此類推尋找規(guī)律，即可求出A_n的坐標(biāo)，得到正方形A_nB_nC_nB_n-1的面積．

解答：
解：連接A₁C₁，A₂C₂，A₃C₃，分別交x軸于點(diǎn)E、F、G，
∵正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂B₁、A₃B₃C₃B₂，
∴A₁與C₁關(guān)于x軸對(duì)稱，A₂與C₂關(guān)于x軸對(duì)稱，A₃與C₃關(guān)于x軸對(duì)稱，
∵C₁（1，-1），C₂（

7

2

，

3

2

），
∴A₁（1，1），即（5×（

3

2

）^1-1-4，（

3

2

）^1-1），A₂（

7

2

，

3

2

），即（5×（

3

3

）^2-1-4，（

3

2

）^2-1），
∴OB₁=2OE=2，OB₂=OB₁+2B₁F=2+2×（

7

2

-2）=5，
將A₁與A₂的坐標(biāo)代入y=kx+b中得：

k+b=1 7 2 k+b= 3 2

，
解得：

k= 1 5 b= 4 5

，
∴直線解析式為y=

1

5

x+

4

5

，
設(shè)B₂G=A₃G=b，則有A₃坐標(biāo)為（5+b，b），
代入直線解析式得：b=

1

5

（5+b）+

4

5

，
解得：b=

9

4

，
∴A₃坐標(biāo)為（

29

4

，

9

4

），即（5×（

3

2

）^3-1-4，（

3

2

）^3-1），
此時(shí)正方形A₃B₃C₃B₂的面積是（

9

4

）²+（

9

4

）²=

2×81

16

=

2×32×3-2

22×3-2

；
依此類推A_n（5×（

3

2

）^n-1-4，（

3

2

）^n-1），正方形A_nB_nC_nB_n-1的面積（

3

2

）^2n-2+（

3

2

）^2n-2=

2×32n-2

22n-2

．
故答案為：

81

8

；

2×32n-2

22n-2

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，正方形的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，找出本題的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．