Question

18．如圖，點D是等腰直角△ABC斜邊AB的中點，M是邊BC上的點，將△DBM沿DM折疊，點B的對稱點E落在直線AC的左側(cè)，EM交邊AC于點F，ED交邊AC于點G．
（1）求證：∠ADE+∠EMC=90°．
（2）若△FCM的周長為12，求直角邊BC的長．

Answer 1

分析 （1）等腰直角三角形的性質(zhì)可知∠B=45°，由三角形的內(nèi)角和定理可知；∠BDM+∠BND=135°，由翻折的性質(zhì)可知；∠EDB+∠EMB=270°，由鄰補角的定義可求得：∠ADE+∠EMC=360°-（∠EDB+∠EMB）；
（2）首先由等腰直角三角形的性質(zhì)可知∠A=∠B=45°，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可知：CD=BD=AD，∠ACD=45°，然后由折疊的性質(zhì)可知：DB=DE，∠DEM=45°，從而可證明∠FEC=∠FCE．于是可得到EF=FC，然后結(jié)合折疊的性質(zhì)可證明BC=12．

解答 解：（1）∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=45°．
在△BMD中，∠BDM+∠BND=180°-∠B=135°，
由翻折的性質(zhì)可知：∠EDM=BDM，∠EMD=∠BMD，
∴∠EDB+∠EMB=270°，
∵∠ADE=180°-∠EDB，∠EMC=180°-∠EMB，
∴∠ADE+∠EMC=360°-（∠EDB+∠EMB）=360°-270°=90°．
（2）如圖，連接CD、DF、CE．

∵點D為AB的中點，∠C=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD=BD
由折疊的性質(zhì)可知：BD=DE，
∴CD=ED．
∴∠DCE=∠DEC．
∵△ACB為等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵CD=DB，
∴∠DCB=45°．
∴∠ACM=45°
由折疊的性質(zhì)可知：∠DEM=∠DBM=45°，EM=BM，
∴∠FEC=∠FCE．
∴EF=FC．
△FCM的周長=FC+FM+CM=FE+FM+CM=EM+CM=MB+CM=CB，
∴BC=12．

點評 本題主要考查的是折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，證得三角形FCM的周長等于BC是解題的關(guān)鍵．