Question

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABC是等腰三角形．
（2）若∠A=60°，BE=3，求△ABC的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由角平分線的性質(zhì)可得：DE=DF，然后由HL可證△BED≌△CFD，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得：∠B=∠C，然后由等角對(duì)等邊可得：AB=AC，即可證：△ABC是等腰三角形．
（2）由△ABC是等腰三角形及∠A=60°，可證△ABC是等邊三角形，所以要求△ABC的周長，只需求出BC的長，然后乘以3即可，由∠B=60°，可得∠BDE=30°，然后由直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可得BD=2BE=6，最后由點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，即可求BC的長度，從而求出△ABC的周長．

解答：（1）證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°
∵D是BC的中點(diǎn)
∴BD=CD
在Rt△BDE和Rt△CDF中，

DB=DC DE=DF

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠BAC=∠C=60°，
∴∠BDE=30°，
在Rt△BDE中，∵∠BDE=30°，
∴BD=2BE，
∵BE=3，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴BC=2BD=4BE=12，
∴△ABC的周長=3BC=36．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)得出DE=DF是解題的關(guān)鍵．