Question

2．如圖，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=$\frac{1}{8}$．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）利用此圖形求tan15°的值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$=1.4，$\sqrt{3}$=1.7，$\sqrt{5}$=2.2）

Answer 1

分析 （1）過(guò)A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由含30°的直角三角形性質(zhì)得AD=$\frac{1}{2}$AC=2，由三角函數(shù)求出CD=2$\sqrt{3}$，在Rt△ABD中，由三角函數(shù)求出BD=16，即可得出結(jié)果；
（2）在BC邊上取一點(diǎn)M，使得CM=AC，連接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=$\frac{AD}{MD}$即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）過(guò)A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如圖1所示：
在Rt△ADC中，AC=4，
∵∠C=150°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=2，
CD=AC•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ABD中，tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2}{BD}$=$\frac{1}{8}$，
∴BD=16，
∴BC=BD-CD=16-2$\sqrt{3}$；
（2）在BC邊上取一點(diǎn)M，使得CM=AC，連接AM，如圖2所示：
∵∠ACB=150°，
∴∠AMC=∠MAC=15°，
tan15°=tan∠AMD=$\frac{AD}{MD}$=$\frac{2}{4+2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$≈0.27≈0.3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了銳角三角函數(shù)、含30°的直角三角形性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握三角函數(shù)運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．