Question

3．我們知道：$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1×2}$，$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2×3}$，┅┅
那么反過來也成立如：$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$┅┅，$\begin{array}{l}\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
利用上面的規(guī)律計算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+┅┅+$\frac{1}{98×99}$+$\frac{1}{99×100}$
拓展：$\frac{2}{1×3}$+$\frac{2}{3×5}$+$\frac{2}{5×7}$+$\frac{2}{7×9}$+┅┅+$\frac{2}{97×99}$+$\frac{2}{99×101}$．

Answer 1

分析 根據(jù)連續(xù)整數(shù)乘積的倒數(shù)等于各自倒數(shù)的差可得，根據(jù)以上規(guī)律列項求解可得．

解答 解：根據(jù)題意知$\begin{array}{l}\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+┅┅+$\frac{1}{98×99}$+$\frac{1}{99×100}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{99}$+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$
=1-$\frac{1}{100}$
=$\frac{99}{100}$，
$\frac{2}{1×3}$+$\frac{2}{3×5}$+$\frac{2}{5×7}$+$\frac{2}{7×9}$+┅┅+$\frac{2}{97×99}$+$\frac{2}{99×101}$
=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{97}$-$\frac{1}{99}$+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$
=1-$\frac{1}{101}$
=$\frac{100}{101}$，
故答案為：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．

點評 本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題意得出連續(xù)整數(shù)乘積的倒數(shù)等于各自倒數(shù)的差是解題的關(guān)鍵．