Question

【題目】已知拋物線，頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，直線AB與x軸相交于點(diǎn)M，y軸相交于點(diǎn)E，拋物線與y軸相交于點(diǎn)F，在直線AB上有一點(diǎn)P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面積；

（3）如圖2，點(diǎn)Q是折線A﹣B﹣C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QN∥y軸，過(guò)點(diǎn)E作EN∥x軸，直線QN與直線EN相交于點(diǎn)N，連接QE，將△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若點(diǎn)N1落在x軸上，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）（﹣，）或（﹣，2）或（，2）．

【解析】

（1）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式求得a的值即可；

（2）由∠OPM＝∠MAF知OP∥AF，據(jù)此證△OPE∽△FAE得，即OP＝FA，設(shè)點(diǎn)P（t，﹣2t﹣1），列出關(guān)于t的方程解之可得；

（3）分點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)且Q在y軸左側(cè)、點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)且點(diǎn)Q在y軸右側(cè)這三種情況分類(lèi)討論即可得．

（1）把點(diǎn)代入，

解得：a＝1，

∴拋物線的解析式為：；

（2）由知頂點(diǎn)A（，﹣2），

設(shè)直線AB解析式為：y＝kx+b，代入點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，

得： ，

解得：，

∴直線AB的解析式為：y＝﹣2x﹣1，

易求E（0，﹣1），，，

∵∠OPM＝∠MAF，

∴OP∥AF，

∴△OPE∽△FAE，

∴，

∴,

設(shè)點(diǎn)P（t，﹣2t﹣1），則：

解得，，

∵△POE的面積＝OE|t|，

∴△POE的面積為或．

（3）若點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)，如圖1，

設(shè)Q（a，﹣2a﹣1），則NE＝﹣a、QN＝﹣2a，

由翻折知QN′＝QN＝﹣2a、N′E＝NE＝﹣a，

由∠QN′E＝∠N＝90°易知△QRN′∽△N′SE，

∴，即，

∴QR＝2，ES＝，

由NE+ES＝NS＝QR可得﹣a+＝2，

解得：a＝﹣，

∴Q（﹣，）；

若點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，且Q在y軸左側(cè)，如圖2，

設(shè)NE＝a，則N′E＝a，

易知RN′＝2、SN′＝1、QN′＝QN＝3，

∴QR＝、SE＝﹣a，

在Rt△SEN′中，（﹣a）2+12＝a2，

解得：a＝，

∴Q（﹣，2）；

若點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q在y軸右側(cè)，如圖3，

設(shè)NE＝a，則N′E＝a，

易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，

∴QR＝，SE＝﹣a，

在Rt△SEN′中，（﹣a）2+12＝a2，

解得：a＝，

∴Q（，2）．

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣，））或（﹣，2）或（，2）．