Question

如圖：直線y=kx+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，

OB

OA

=

1

2

，點(diǎn)C（x，y）是直線y=kx+3上與A、B不重合的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求直線y=kx+3的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)△AOC的面積是6；
（3）過點(diǎn)C的另一直線CD與y軸相交于D點(diǎn)，是否存在點(diǎn)C使△BCD與△AOB全等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令x=0求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得到OB的長(zhǎng)度，再求出OA的長(zhǎng)，然后得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入直線解析式計(jì)算即可得解；
（2）設(shè)點(diǎn)C到x軸的距離為h，根據(jù)三角形的面積求出h，然后分兩種情況表示出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，再代入直線解析式計(jì)算求出橫坐標(biāo)，然后寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；
（3）利用勾股定理列式求出AB，然后分①BC和BO是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等求出BC，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于E，利用∠BCE的正弦求出BE的長(zhǎng)，再求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，然后代入直線解析式求解得到點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，從而得解；②BD和BO是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等求出BD，再求出OD，即為點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，然后代入直線解析式求解得到點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，從而得解．

解答：解：（1）令x=0，則y=3，
∴點(diǎn)B（0，3），OB=3，
∵

OB

OA

=

1

2

，
∴OA=2OB=2×3=6，
∴點(diǎn)A（6，0），
把點(diǎn)A代入直線y=kx+3得，6k+3=0，
解得k=-

1

2

，
∴直線解析式為y=-

1

2

x+3；

（2）設(shè)點(diǎn)C到x軸的距離為h，
由題意得，

1

2

×6h=6，
解得h=2，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2或-2，
∴-

1

2

x+3=2或-

1

2

x+3=-2，
解得x=2或x=10，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2）或（10，2）；

（3）由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

62+32

=3

5

，
①BC和BO是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△BCD與△AOB全等，
∴BC=BO=3，
過點(diǎn)C作CE⊥y軸于E，則CE∥OA，
∴∠BCE=∠BAO，
∴BE=BC•sin∠BCE=3×

3

3 5

=

3 5

5

，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3-

3 5

5

，
代入直線y=-

1

2

x+3得，-

1

2

x+3=3-

3 5

5

，
解得x=

6 5

5

，
此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為C₁（

6 5

5

，3-

3 5

5

）；
②BD和BO是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△BCD與△AOB全等，
∴BD=BO=3，
∴OD=3+3=6，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為6，
代入直線y=-

1

2

x+3得，-

1

2

x+3=6，
解得x=-6，
此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)C₂（-6，6），
綜上所述，點(diǎn)C（

6 5

5

，3-

3 5

5

）或（-6，6）時(shí)，△BCD與△AOB全等．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求解，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，（2）難點(diǎn)在于點(diǎn)C的縱坐標(biāo)有正數(shù)和負(fù)數(shù)兩種情況，（3）難點(diǎn)在于OB的對(duì)應(yīng)邊有BC和BD兩種情況．