Question

4．如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點D，交AC邊于點F，作DE⊥AC于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若△ABC的邊長為4，求EF的長度．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠ODE=90°，根據(jù)切線的判定定理證明即可；
（2）連接AD，BF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出DC、CF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出EC，結(jié)合圖形計算即可．

解答 （1）證明：如圖1，連接OD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B=60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°．
∴∠EDC=30°．
∴∠ODE=90°．
∴DE⊥OD于點D．
∵點D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：如圖2，連接AD，BF，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠AFB=∠ADB=90°．
∴AF⊥BF，AD⊥BD．
∵△ABC是等邊三角形，
∴$DC=\frac{1}{2}BC=2$，$FC=\frac{1}{2}AC=2$．
∵∠EDC=30°，
∴$EC=\frac{1}{2}DC=1$．
∴FE=FC-EC=1．

點評 本題考查的是切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．