Question

6．如圖，二次函數(shù)y=ax²-4ax+2的圖象與y軸交于點(diǎn)A，且過(guò)點(diǎn)B（3，6）．
（1）試求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)B關(guān)于二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，試求∠CAB的正切值；
（3）若在x軸上有一點(diǎn)P，使得點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B₁在y軸上，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把B（3，6）代入y=ax²-4ax+2，求出a的值，得到二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）先求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得出C點(diǎn)坐標(biāo)，求出BC=2，AB=5，tan∠CBA=$\frac{4}{3}$，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，再求出CH=$\frac{8}{5}$，AH=$\frac{19}{5}$，根據(jù)正切函數(shù)定義即可求出∠CAB的正切值；
（3）由AB=AB₁=5，從而點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（0，-3）或（0，7），設(shè)P（x，0）根據(jù)PB=PB₁，分B₁的坐標(biāo)為（0，-3）或（0，7）兩種情況利用勾股定理求得x值．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²-4ax+2的圖象過(guò)點(diǎn)B（3，6），
∴6=9a-12a+2，
解得a=-$\frac{4}{3}$，
所以二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x+2，
∵二次函數(shù)y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)A，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2）；

（2）∵y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x+2=-$\frac{4}{3}$（x-2）²+$\frac{22}{3}$，
∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，
∵點(diǎn)B（3，6）關(guān)于二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，
∴C（1，6），
∴BC=2，AB=$\sqrt{{3}^{2}+（6-2）^{2}}$=5，tan∠CBA=$\frac{4}{3}$，
過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，

則CH=$\frac{8}{5}$，BH=$\frac{6}{5}$，AH=$\frac{19}{5}$，
∴tan∠CAB=$\frac{CH}{AH}$=$\frac{8}{19}$；

（3）由題意，AB=AB₁=5，從而點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（0，-3）或（0，7）．
設(shè)P（x，0）．

①如果點(diǎn)B₁（0，7），
∵點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B₁在y軸上，
∴PB=PB₁，即（x-3）²+6²=x²+7²，
解得x=-$\frac{2}{3}$，即P（-$\frac{2}{3}$，0）；
②如果點(diǎn)B₁′（0，-3），
∵點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B₁在y軸上，
∴PB=PB₁，即（x-3）²+6²=x²+3²，
解得x=6，即P（6，0）；
綜上所述，所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{2}{3}$，0）或（6，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查待定系數(shù)求二次函數(shù)解析式、解直角三角形、勾股定理等，求二次函數(shù)解析式是基礎(chǔ)，構(gòu)建直角三角形求三角函數(shù)值是基本做法，通過(guò)勾股定理得出點(diǎn)坐標(biāo)間聯(lián)系是關(guān)鍵．