Question

14．如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E是BC邊上的一動點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且CE=DF，AF、DE相交于點(diǎn)O，BO=BA，則OC的值為$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由△ADF≌△DCE，推出∠AOD=90°，取AE的中點(diǎn)K，連接BK、OK，作OM⊥CD于M．則KB=AK=KE=OK，推出A、B、E、O四點(diǎn)共圓，推出∠BAO=∠BOA=∠AEB=∠DEC，由△ABE≌△DCE，推出BE=EC=1，推出DF=EC=FC=1，推出DE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，由△DFO∽△DEC，可得$\frac{OD}{DC}$=$\frac{OF}{EC}$=$\frac{DF}{DE}$，即$\frac{OD}{2}$=$\frac{OF}{1}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，推出OD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，OF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由$\frac{1}{2}$•DO•OF=$\frac{1}{2}$•DF•OM，推出OM=$\frac{2}{5}$，推出MF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，推出CM=1+$\frac{1}{5}$=$\frac{6}{5}$，在Rt△OMC中，根據(jù)OC=$\sqrt{O{M}^{2}+C{M}^{2}}$計算即可．

解答 解：如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADF=∠ECD=∠ABC=90°，
∵DF=CE，
∴△ADF≌△DCE，
∴∠DAF=∠EDC，
∵∠EDC+∠ADO=90°，
∴∠DAF+∠ADO=90°，
∴∠AOD=90°，
取AE的中點(diǎn)K，連接BK、OK，作OM⊥CD于M．
則KB=AK=KE=OK，
∴A、B、E、O四點(diǎn)共圓，
∵BA=BO，
∴∠BAO=∠BOA=∠AEB=∠DEC，
∵AB=DC，∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE=EC=1，
∴DF=EC=FC=1，
∴DE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵△DFO∽△DEC，
∴$\frac{OD}{DC}$=$\frac{OF}{EC}$=$\frac{DF}{DE}$，
∴$\frac{OD}{2}$=$\frac{OF}{1}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴OD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，OF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•DO•OF=$\frac{1}{2}$•DF•OM，
∴OM=$\frac{2}{5}$，
∴MF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
∴CM=1+$\frac{1}{5}$=$\frac{6}{5}$，
在Rt△OMC中，OC=$\sqrt{O{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$，
故答案為$\frac{2}{5}\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用輔助圓解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．