Question

如圖（1）：點A（5，4），點B（1，-1），在x軸上求一個點P，使PA+PB最�。�小芳在思考這個問題時想到兩點間線段最短，所以她認為連接AB交x軸與點P，則P是所要求的點．還可以解釋如下：在x軸上取另一點M（M不與P點重合），連MA，MB，由三角形的兩邊之和大于第三邊MA+MB一定大于AB，而AB=AP+BP，所以AB與x軸的交點P是所要求的點．
（1）請你求出P點的坐標；
（2）在圖（2）中，A（5，4），B（1，1）
①在x軸上求一個點P，使PA+PB最��；
②x軸上能否找到一點Q，使得QA-QB最大？如果能，請在圖（3）中畫出該點并說明理由；如果不能，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題,軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）設AB所在的直線對應的函數(shù)解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法可求出AB所在的直線對應的函數(shù)解析式，再令y=0，可得x的值，即可得出點P的坐標，
（2）①作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接AB′交x軸于點P，即是所求點．由（1）即可得出點P的坐標，
②連接AB，并延長AB交x軸與點Q，則QA-QB=AB，在x軸上任取一點N（不與Q重合），則A，B，N三點構(gòu)成三角形，有NA-NB一定小于AB，所以以上的Q點是所要求的點．

解答：解：（1）設AB所在的直線對應的函數(shù)解析式為：y=kx+b，
把點A（5，4），點B（1，-1）代入得

5k+b=4 k+b=-1

，解得

k= 5 4 b=- 9 4

，
所以AB所在的直線對應的函數(shù)解析式為：y=

5

4

x-

9

4

，
令y=0，解得x=

9

5

，即點P（

9

5

，0），
（2）①如圖2，作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接AB′交x軸于點P，即是所求點．

∵B（1，1），
∴B′（1，-1），
由（1）可得點P（

9

5

，0），
②在x軸上能找到一點Q，使得QA-QB最大，
如圖3，連接AB，并延長AB交x軸與點Q，則QA-QB=AB，在x軸上任取一點N（不與Q重合），則A，B，N三點構(gòu)成一個三角形，有NA-NB一定小于AB，
所以以上的Q點是所要求的點．

點評：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是能理解對稱性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系．