Question

6．已知△ABC中，∠BAC的外角平分線交對邊BC的延長線于D．
求證：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．

Answer 1

分析 作DF∥AC交AE于F，如圖，由AD是△ABC外角∠EAC的平分線得到∠1=∠2，由AC∥DF得∠2=∠3，則∠1=∠3，所以FA=FD，再根據(jù)平行線分線段成比例，
由AC∥DF得到$\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{BD}$，$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{CD}$，利用比例的性質(zhì)得到AC•BD=DF•BC，AB•CD=AF•BC，所以AC•BD=AB•CD，然后根據(jù)比例性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：作DF∥AC交AE于F，如圖，

∵AD是△ABC外角∠EAC的平分線，
∴∠1=∠2，
∵AC∥DF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴FA=FD，
∵AC∥DF，
∴$\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{BD}$，$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{CD}$，
∴AC•BD=DF•BC，AB•CD=AF•BC，
而FA=FD，
∴AC•BD=AB•CD，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$．

點評 本題考查了平行線分線段成比例，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．