Question

13．如圖1，矩形ABCD中，AB=8，BC=8$\sqrt{3}$，半徑為$\sqrt{3}$的⊙P與線段BD相切于點M，圓心P與點C在直線BD的同側(cè)，⊙P沿線段BD從點B向點D滾動．
發(fā)現(xiàn)：BD=16；∠CBD的度數(shù)為30°；
拓展：
①當切點M與點B重合時，求⊙P與矩形ABCD重疊部分的面積；
②在滾動過程中如圖2，求AP的最小值；
探究：
①若⊙P與矩形ABCD的兩條對角線都相切如圖3，求此時線段BM的長，并直接寫出tan∠PBC的值；
②在滾動過程中如圖4，點N是AC上任意一點，直接寫出BP+PN的最小值．

Answer 1

分析 發(fā)現(xiàn)：由四邊形ABCD是矩形，得到∠BCD=90°，DC=AB=8，根據(jù)勾股定理得到BD=16，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得到結(jié)論；
拓展：①如圖1，連接PH，過點P作PE⊥BC于點E，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PBD=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是得到S_扇形PBH=$\frac{60π（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$π，S_△PBH=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，即可得到結(jié)論；
②如圖2，當AP⊥BD時，AP有最小值，解直角三角形即可得到結(jié)論；
探究：①如圖3，當點P在△BOC內(nèi)時，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠BOP=60°，求得BM=7，于是得到tan∠PBC=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，如圖4，當點P在△DOC內(nèi)時，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠DOP=30°，于是得到tan∠PBC=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$；
②如圖5，過P作直線l∥BD，作B關(guān)于直線l的對稱點B′，過B′，P作直線PB′交BD于K，交AC于N，則此時PB+PN的值最小，且B′N=PB+PN，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：發(fā)現(xiàn)：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，DC=AB=8，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{（8\sqrt{3}）^{2}+{8}^{2}}$=16，
∵sin∠CBD=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CBD=30°，
故答案為：16，30°； 

拓展：①如圖1，連接PH，過點P作PE⊥BC于點E，
∵⊙P與線段BD相切于點B
∴∠PBD=90°
∴∠CBP=60°
∵PB=$\sqrt{3}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵PB=PH
∴∠BPH=60°，BH=$\sqrt{3}$
∴S_扇形PBH=$\frac{60π（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$π，S_△PBH=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴⊙P與矩形ABCD重疊部分的面積為$\frac{1}{2}$π-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
②如圖2，當AP⊥BD時，AP有最小值，
∵AD=8$\sqrt{3}$，∠ADB=30°，
∴AM=4$\sqrt{3}$，
∴AP的最小值為5$\sqrt{3}$，

探究：①如圖3，當點P在△BOC內(nèi)時，
∵⊙P與AC、BD相切，
∴∠BOP=60°，
∴OM=1，
∴BM=7，
此時tan∠PBC=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
如圖4，當點P在△DOC內(nèi)時，
∵⊙P與AC、BD相切，
∴∠DOP=30°，
∴OM=3，
∴BM=11，
此時tan∠PBC=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
②如圖5，
過P作直線l∥BD，作B關(guān)于直線l的對稱點B′，過B′，P作直線PB′交BD于K，交AC于N，
則此時PB+PN的值最小，且B′N=PB+PN，
連接PM，
∴PM⊥BD，
∵BB′⊥l，
∴BB′⊥BD，
∴PM∥BB′，
∵∠DBC=30°，
∴∠CBB′=60°，
∴△PBB′是等邊三角形，
∴∠B′=60°，
∴B′K=2BB′=4PM=4$\sqrt{3}$，
∵∠KPC=∠BPB′=60°，
∴∠ONK=90°，
∴∠NKO=∠BKP=30°，
∵MK=$\sqrt{3}$PM=3，
∴OK=8-6=2，
∴NK=$\sqrt{3}$，
∴PB+PN的最小值=B′K+NK=5$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，軸對稱-最小距離問題，扇形面積的計算，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．