Question

13．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，連結(jié)AF交CG于點(diǎn)K，H是AF的中點(diǎn)，連結(jié)CH．
（1）求tan∠GFK的值；
（2）求CH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC，GF∥BE，∠G=90°，證出△ADK∽△FGK，得出比例式求出GK=$\frac{3}{4}$DG=$\frac{3}{2}$，即可得出結(jié)果；
（2）由正方形的性質(zhì)求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長(zhǎng)AD交EF于M，連接AC、CF，求出AM=4，F(xiàn)M=2，∠AMF=90°，根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠ACF=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出CH=$\frac{1}{2}$AF，根據(jù)勾股定理求出AF，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，
∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC，GF∥BE，∠G=90°，
∴DG=CG-CD=2，AD∥GF，
∴△ADK∽△FGK，
∴DK：GK=AD：GF=1：3，
∴GK=$\frac{3}{4}$DG=$\frac{3}{2}$，
∴tan∠GFK=$\frac{GK}{FG}$=$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{1}{2}$；
（2）∵正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延長(zhǎng)AD交EF于M，連接AC、CF，如圖所示：
則AM=BC+CE=1+3=4，F(xiàn)M=EF-AB=3-1=2，∠AMF=90°，
∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H為AF的中點(diǎn)，
∴CH=$\frac{1}{2}$AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=$\sqrt{A{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴CH=$\frac{1}{2}$AF=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；本題有一定難度，特別是（2）中，需要通過作出輔助線運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)才能得出結(jié)果．