Question

如圖，對(duì)稱軸為x=2的拋物線y=ax²+bx（a≠0）與x軸交于原點(diǎn)O與點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=

b

x

(x＞0)交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作x軸的平行線，交y軸于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)y=

a

x

于點(diǎn)D，連接OB、OD．則下列結(jié)論中：
①ab＞0；      ②方程ax²+bx=0的兩根為0和4；
③3a+b＜0；    ④tan∠BOC=4tan∠COD
正確的有（　�。�

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：①由反比例函數(shù)y=

b

x

(x＞0)在第一象限，反比例函數(shù)y=

a

x

在第二象限，可得b＞0，a＜0，即可判定ab＜0；
②由對(duì)稱軸為x=2的拋物線y=ax²+bx（a≠0）與x軸交于原點(diǎn)O與點(diǎn)A，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，繼而求得方程ax²+bx=0的兩根為0和4；
③由將A（4，0）代入拋物線y=ax²+bx得：16a+4b=0，可得b=-4a，即可判定3a+b=3a-4a=-a＞0；
④由③易得tan∠BOC=4tan∠COD．

解答：解：①∵反比例函數(shù)y=

b

x

(x＞0)在第一象限，反比例函數(shù)y=

a

x

在第二象限，
∴b＞0，a＜0，
∴ab＜0，故①錯(cuò)誤；
②∵對(duì)稱軸為x=2的拋物線y=ax²+bx（a≠0）與x軸交于原點(diǎn)O與點(diǎn)A，
∴點(diǎn)A（4，0），
∴方程ax²+bx=0的兩根為0和4；故②正確；
③將A（4，0）代入拋物線y=ax²+bx得：16a+4b=0，
∴b=-4a，
∴3a+b=3a-4a=-a＞0；故③錯(cuò)誤；
④∵點(diǎn)B與D縱坐標(biāo)相等，
∴設(shè)點(diǎn)B（

b

y

，y），點(diǎn)D（

a

y

，y），
∴tan∠BOC=

BC

OC

=

b

y2

，tan∠COD=-

a

y2

，
∵b=-4a，
∴tan∠BOC=4tan∠COD．故④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．