Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一定點(diǎn)，AC=6，BC=8，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，過C作CQ⊥CP，交PB延長(zhǎng)線于Q．

（1）若P點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱，如圖1，求CP的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△PCQ的內(nèi)心在線段CB上，請(qǐng)利用圖2說明理由并求出此時(shí)四邊形APBC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：計(jì)算題

分析：（1）如圖1，根據(jù)圓周角定理由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°，則根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AB=10，再利用對(duì)稱的性質(zhì)得CP⊥AB，CH=PH，然后根據(jù)面積法可計(jì)算出CH=

24

5

，則PC=2CH=

48

5

；
（2）若點(diǎn)P為半圓AB的中點(diǎn)，即

PA

=

PB

，根據(jù)圓周角定理得到∠ACP=∠BCP=∠BCP=45°，而∠PCQ=90°，則得到CB平分∠PCQ，于是根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得△PCQ的內(nèi)心在線段CB上；再證明△APB為等腰直角三角形得到PA=PB=

2

2

AB=5

2

，然后利用四邊形APBC的面積=S_△ABC+S_△ABP進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）如圖1，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∵P點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱，
∴CP⊥AB，CH=PH，
∵

1

2

CH•AB=

1

2

AC•BC，
∴CH=

6×8

10

=

24

5

，
∴PC=2CH=

48

5

；
（2）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到半圓AB的中點(diǎn)時(shí)，△PCQ的內(nèi)心在線段CB上，如圖2，
∵點(diǎn)P為半圓AB的中點(diǎn)，
∴

PA

=

PB

，
∴∠ACP=∠BCP，
而∠ACB=90°，
∴∠BCP=45°，
∵CQ⊥CP，
∴∠PCQ=90°，
∴CB平分∠PCQ，
∴△PCQ的內(nèi)心在線段CB上；
∵∠PAB=∠BCP=45°，∠PBA=∠ACP=45°，
∴△APB為等腰直角三角形，
∴PA=PB=

2

2

AB=5

2

，
∴四邊形APBC的面積=S_△ABC+S_△ABP
=

1

2

•6•8+

1

2

•5

2

•5

2

=49．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了圓周角定理和勾股定理．