Question

進(jìn)價(jià)為每件40元的某商品，售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件．市場調(diào)查反映：如果每件的售價(jià)每下降1元，每星期可多賣出20件，但售價(jià)不能低于每件45元．設(shè)每件降價(jià)x元（x為正整數(shù)）．
（1）設(shè)每星期的銷售量為y件，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
（2）如何定價(jià)才能使每星期的利潤最大？并求出每星期的最大利潤．

Answer 1

分析：（1）用原來的銷售量加上增加的銷售量即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)售價(jià)不能低于每件45元，x為正整數(shù)，即可求出x的取值范圍；
（2）根據(jù)銷售利潤=銷售量×（售價(jià)-進(jìn)價(jià)），列出平均每天的銷售利潤w（元）與降價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤．

解答：解：（1）由題意得出：y=300+20x，

x≥0 60-x≥45

，
∴0≤x≤15，
∴所求的函數(shù)關(guān)系式為：y=300+20x（0≤x≤15且x為正整數(shù)）；

（2）設(shè)每星期的利潤為W元，
W=（60-x）（300+20x）-40×（300+20x）
=-20(x-

5

2

)2+6125，
當(dāng)x=2.5時(shí)，W有最大值為6125元．
∵x為正整數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)，60-x=58，W=6120元；
當(dāng)x=3時(shí)，60-x=57，W=6120元；
∴當(dāng)售價(jià)為58元或57元時(shí)，每星期的利潤最大，最大利潤為6120元．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值在x=-

b

2a

時(shí)取得．