Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交與A（1，0），B（-3，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在y軸上是否存在一點P，使△PBO與△AOC相似？若存在，寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最�。咳舸嬖�，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)，利用AO=1，CO=3，得出PO的長，進而得出答案；
（3）由題知A、B兩點關于拋物線的對稱x=-1對稱，直線BC與x=-1的交點即為Q點，此時△AQC周長最小，首先求出直線BC的解析式，進而得出Q點坐標即為

x=-1 y+x+3

的解，即可得出答案．

解答：解：（1）將A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

，
∴解得：

b=-2 c=3

，
∴拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）當x=0，則y=3，
∴C點坐標為：（0，3），
∴AO=1，CO=3，
∵B（-3，0），
∴BO=3，
∴當PO=1時，
△PBO與△AOC相似，
∴P₁（0，-1）、P₂（0，1），
當PO=9時，△PBO與△AOC相似，
P₃（0，9）、P₄（0，-9）；
綜上所示：P₁（0，-1）、P₂（0，1），P₃（0，9）、P₄（0，-9）；

（3）存在，
理由如下：由題知A、B兩點關于拋物線的對稱軸x=-1對稱，
∴直線BC與x=-1的交點即為Q點，此時△AQC周長最小
∵y=-x²-2x+3，
∵C的坐標為：（0，3），B（-3，0），設直線BC解析式為：y=kx+d，
∴

-3k+d=0 d=3

，
解得：

k=1 d=3

，
∴直線BC解析式為：y=x+3；
Q點坐標即為

x=-1 y=x+3

的解，
∴

x=-1 y=2

，
∴Q（-1，2）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及利用軸對稱求最短路線和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關鍵．