Question

如圖已知⊙O及弦BC．
（1）若D是弧BC的中點(diǎn)，A是圓上一點(diǎn)，AD交BC于E，當(dāng)A在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否總能滿足AB•AC=AE•AD，請(qǐng)作出判斷，并證明你的結(jié)論；
（2）A在⊙O何處時(shí)，△ABC為等腰三角形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）滿足．證明如下：
連接DC
∵D是弧BC的中點(diǎn)
∴∠BAE=∠DAC
∵∠ABE=∠ADC
∴△ABE∽△ADC
∴
即AB•AC=AE•AD

（2）A可在弦BC的垂直平分線與⊙O的交點(diǎn)上；或以B為圓心，以BC為半徑作弧交⊙O于A
理由如下：若AD垂直平分BC，則弧AB=弧AC，所以AB=AC，這時(shí)△ABC為等腰三角形；
若以B為圓心，以BC為半徑作弧交⊙O于A，則AB=BC，這時(shí)△ABC為等腰三角形．
分析：（1）欲證AB•AC=AE•AD，可以證明△ABE∽△ADC得出；
（2）在同圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中只要有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等，A可在弦BC的垂直平分線與⊙O的交點(diǎn)上；或以B為圓心，以BC為半徑作弧交⊙O于A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，及等腰三角形的判斷，圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．