Question

如圖已知⊙O及弦BC．
（1）若D是弧BC的中點，A是圓上一點，AD交BC于E，當(dāng)A在⊙O上運動時，是否總能滿足AB•AC=AE•AD，請作出判斷，并證明你的結(jié)論；
（2）A在⊙O何處時，△ABC為等腰三角形？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證AB•AC=AE•AD，可以證明△ABE∽△ADC得出；
（2）在同圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中只要有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等，A可在弦BC的垂直平分線與⊙O的交點上；或以B為圓心，以BC為半徑作弧交⊙O于A．

解答：解：（1）滿足．（2分）證明如下：
連接DC
∵D是弧BC的中點
∴∠BAE=∠DAC（4分）
∵∠ABE=∠ADC（5分）
∴△ABE∽△ADC（7分）
∴

AB

AD

=

AE

AC

即AB•AC=AE•AD（9分）

（2）A可在弦BC的垂直平分線與⊙O的交點上（10分）；或以B為圓心，以BC為半徑作弧交⊙O于A（11分）
理由如下：若AD垂直平分BC，則弧AB=弧AC，所以AB=AC，這時△ABC為等腰三角形；
若以B為圓心，以BC為半徑作弧交⊙O于A，則AB=BC，這時△ABC為等腰三角形．（13分）

點評：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，及等腰三角形的判斷，圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識點的綜合運用．