Question

20．倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．下面是一案例，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀、研究，完成“類比猜想”及后面的問(wèn)題．
習(xí)題解答
習(xí)題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，說(shuō)明理由．
解：
∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE′，點(diǎn)F、D、E′在一條直線上．
∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF．
又∵AE′=AE，AF=AF
∴△AE′FF≌△AEF（SAS）
∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．
習(xí)題研究．
觀察分析：
觀察圖1，由解答可知，該題有用的條件是①．ABCD是四邊形，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上；②．AB=AD；③．∠B=∠D=90°∠；④．∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD．
類比猜想：
在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD，∠B=∠D時(shí)，還有EF=BE+DF嗎？
要解決上述問(wèn)題，可從特例入手，請(qǐng)同學(xué)們思考：如圖2，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)∠BAD=120°，∠EAF=60°時(shí)，還有EF=BE+DF嗎？試證明．
（2）在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，當(dāng)AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD時(shí)，還有EF=BE+DF嗎？使用圖3證明．
歸納概括：
反思前面的解答，思考每個(gè)條件的作用，可以得到一個(gè)結(jié)論“EF=BE+DF”的一般命題：在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD時(shí)，EF=BE+DF．

Answer 1

分析 （1）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△ADE′，如圖（2），連結(jié)E′F，根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AE′，∠EAF=∠E′AF，利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120°，則點(diǎn)F、D、E′不共線，所以DE′+DF＞EF，即由BE+DF＞EF；
（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△ADE′，如圖（3），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE′=AE，∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，由于∠ADE′+∠ADC=180°，知F、D、E′共線，因此有EF=DE′+DF=BE+DF；根據(jù)前面的條件和結(jié)論可歸納出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖（2），

當(dāng)∠BAD=120°，∠EAF=60°時(shí)，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．
理由如下：
∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴AB=AD，∠1+∠2=60°，∠B=∠ADC=60°，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△ADE′，如圖（2），連結(jié)E′F，
∴∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，
∴∠2+∠3=60°，
∴∠EAF=∠E′AF，
在△AEF和△AE′F中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE′}\\{∠EAF=∠E′AF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，
∵∠ADE′+∠ADC=120°，即點(diǎn)F、D、E′不共線，
∴DE′+DF＞EF
∴BE+DF＞EF；
（2）當(dāng)AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD時(shí)，EF=BE+DF成立．
理由如下：如圖（3），

∵AB=AD，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△ADE′，如圖（3），
∴∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，
∵∠B+∠D=180°，
∴∠ADE′+∠D=180°，
∴點(diǎn)F、D、E′共線，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=∠E′AF，
在△AEF和△AE′F中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE′}\\{∠EAF=∠E′AF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，
∴EF=DE′+DF=BE+DF；

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何變換綜合題：熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用三角形全等的判定與性質(zhì)解決線段相等的問(wèn)題．