Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=12．
（1）用尺規(guī)作圖的方法作AB的垂直平分線MN，分別交BC、AB于點(diǎn)M、N（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
（2）求第（1）題中的CM的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)尺規(guī)作圖的方法，作AB的垂直平分線MN，分別交BC、AB于點(diǎn)M、N；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得出∠BAM=∠B=30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得到∠CAM=90°，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得出MC=2AM=2BM，最后求得CM的長．

解答 解：（1）如圖所示，MN即為所求；


（2）如圖，連結(jié)AM，
∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，
∴MB=MA
∴∠BAM=∠B=30°，
∴∠AMC=30°+30°=60°，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30°，
∴∠CAM=180°-60°-30°=90°，
∵在Rt△ACM中，∠C=30°，
∴MC=2AM=2BM，
又∵BC=12，
∴3BM=12，即BM=4，
∴MC=2BM=8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．