Question

2．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CD平分∠ACB，分別交⊙O、AB于點(diǎn)D，E，P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PC=PE．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，BC：AD=1：$\sqrt{2}$，求圖中陰影部分的面積；
（3）若CE：DE=1：$\sqrt{2}$，求tan∠BCP的值．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由角的關(guān)系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直線PC與⊙O相切．
（2）連接BD，由圓周角定理得出AD=BD，進(jìn)一步得出AB=$\sqrt{2}$AD，解直角三角形求得∠BAC=30°，∠BOC=60°，從而求得PC的長(zhǎng)，然后根據(jù)S_陰影=S_△POC-S_扇形OBC即可求得；
（3）連接OD，作CF⊥AB于F，則OD∥CF，得出三角形相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)從而求得OF與半徑的關(guān)系，設(shè)半徑為x，則CF=OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，從而得出AF=x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，解直角三角形求得tag∠BAC=$\sqrt{2}$-1，根據(jù)∠BAC=∠BCP，即可求得tan∠BCP=$\sqrt{2}$-1．

解答 （1）證明：連接OC，
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠OCA，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠PCB=∠CAO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，
即OC⊥PC，
∴直線PC與⊙O相切．
（2）解：連接BD，
∵BC：AD=1：$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{2}$BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$AD，
∴AB=2BC，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OC⊥PC，
∴∠P=30°，
∴OP=2OC=6，
∴PC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OP=3$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_△POC-S_扇形OBC=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×3-$\frac{60π×{3}^{2}}{360}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3π}{2}$；
（3）連接OD，作CF⊥AB于F，
∵AD=BD，OA=OB，
∴OD⊥AB，
∴OD∥CF，
∴$\frac{CF}{OD}$=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵OC=OD，
∴$\frac{CF}{OC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠COF=45°，
∴△COF是等腰直角三角形，
∴CF=OF，
設(shè)半徑為x，則OA=OC=x，
∴CF=OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴AF=x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴tag∠BAC=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）x}$=$\sqrt{2}$-1，
∵∠BAC=∠BCP，
∴tan∠BCP=$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定以及扇形的面積，作出輔助線構(gòu)建等腰三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．