Question

已知如圖，

AB

=120°，AB=

3

，sin∠CBA=

1

2

，∠ACB=Rt∠，BC與

AB

交于點D，則陰影部分的面積是

 

．

Answer 1

考點：扇形面積的計算

專題：

分析：首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出∠ABC=30°，∠AOD=60°，進而得出AC，CD，OD的長，再利用S_陰影=S_△ACD-S_弓形AD進而得出答案．

解答：解：連接AO，DO，AD，過點O作OE⊥AD于點E，
∵sin∠CBA=

1

2

，∠ACB=Rt∠，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOD=60°，
∴

AD

=60°，
∵AO=DO，∠AOD=60°，
∴△AOD是等邊三角形，
∴EO=cos30°×DO，
∵

AB

=120°，
∴D為

AB

的中點，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAB=30°，
∴∠ACD=30°，
∵AB=

3

，∠B=30°，
∴AC=

3

2

，
∴tan30°=

CD

AC

，
∴CD=

3

2

×

3

3

=

1

2

，
∴AD=1，
∴EO=

3

2

，
S_弓形AD=S_扇形AOD-S_△AOD=

60π×12

360

-

1

2

×

3

2

×1=

π

6

-

3

4

，
∴S_陰影=S_△ACD-S_弓形AD=

1

2

×

1

2

×

3

2

-（

π

6

-

3

4

）=

3 3

8

-

π

6

．
故答案為：

3 3

8

-

π

6

．

點評：此題主要考查了扇形面積公式以及三角形面積求法和圓周角定理以及銳角三角函數(shù)關系等知識，得出S_陰影=S_△ACD-S_弓形AD進而求出是解題關鍵．