Question

18．如圖，在△ABC中，BC=2$\sqrt{2}$，∠ABC=45°=2∠ECB，BD⊥CD，則（2BD）²=16-8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 延長BD至F，使得DF=BD，連結(jié)CF交AB于G．根據(jù)中垂線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)得到CF=2$\sqrt{2}$，BG=CG=2，根據(jù)線段的和差求得FG=2$\sqrt{2}$-2，
在Rt△BGF中，根據(jù)勾股定理即可求解．

解答 解：延長BD至F，使得DF=BD，連結(jié)CF交AB于G．
∵BD⊥CD，DF=BD，
∴CF=CB=2$\sqrt{2}$，∠DCF=∠ECB，
∵∠ABC=45°=2∠ECB，
∴∠BCG=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∵BC=2$\sqrt{2}$，
∴BG=CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2，
∴FG=2$\sqrt{2}$-2，
在Rt△BGF中，（2BD）²=BF²=BG²+FG²=2²+（2$\sqrt{2}$-2）²=16-8$\sqrt{2}$．
故答案為：16-8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 考查了勾股定理，中垂線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，本題關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形，難度較大．