Question

4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，點P在AC上（與點A、C不重合），Q點在BC上，PQ∥AB．當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長．

Answer 1

分析 由勾股定理易求AC的長，再根據(jù)三角形周長的定義及已知條件△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等得到點P、Q分別是AC邊、BC邊的中點，證明△CPQ∽△CAB，再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出CP的長．

解答 解：
∵在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4，
∵△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等，
∴PC+CQ+PQ=PA+AB+QB+PQ，
∴PC+CQ=PA+AB+QB，
又∵PC+CQ+PA+AB+QB=AC+BC+AB，
∴PC+CQ=PA+AB+QB=$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）=6，
∴CQ=6-CP，
∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
∴CP：CA=CP：4，
∴$\frac{CP}{4}=\frac{6-CP}{3}$．
解得CP=$\frac{24}{7}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，綜合性較強，難度中等，熟記相似三角形的各種判定方法是解題的關(guān)鍵．