Question

已知拋物線y₁=ax²+bx+a（a＞2）與直線y₂=mx+1交于A（m，2）（m＞0），B（p，q）兩個不同的點，且直線AB與y軸交于點C，求△OBC面積的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：把點A坐標代入直線解析式求出m=1，然后代入拋物線解析式求出a、b的關(guān)系，再聯(lián)立兩函數(shù)解析式消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，然后求出點B的橫坐標，再根據(jù)三角形的面積a＞2進行判斷即可．

解答：解：∵點A（m，2）在直線y₂=mx+1上，
∴m²+1=2，
解得m₁=1，m₂=-1（舍去），
∴點A的坐標為（1，2），
直線解析式為y₂=x+1，
代入拋物線得a+b+a=2，
∴b=2-2a，
聯(lián)立

y=ax2+bx+a y=x+1

消掉y得，
ax²+（b-1）x+a-1=0，
所以，ax²+（1-2a）x+a-1=0，
解得x₁=1，x₂=

a-1

a

，
令x=0，則y=1，
所以，OC=1，
△OBC面積=

1

2

×1×

a-1

a

=

1

2

-

1

2a

，
∵a＞2，
∴

1

2a

＜

1

4

，
∴

1

2

-

1

2a

＞

1

2

-

1

4

＞

1

4

，
∴

1

4

＜△OBC面積＜

1

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出m的值是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．