Question

已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分線BD與AC交于D，求證：BC=

5 -1

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AB．

Answer 1

考點：黃金分割

專題：證明題

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC=∠C=72°，再利用角平分線的定義得∠ABD=

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∠ABC=36°，則DA=DB，于是可證明△BDC∽△ABC，利用相似比得到CD：BC=BC：AC，利用等線段代換CD：AD=AD：AC，于是可根據(jù)黃金分割的定義得AD=

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AC，即有BC=

5 -1

2

AB．

解答：證明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=

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（180°-36°）=72°，
∵∠ABC的平分線BD與AC交于D，
∴∠ABD=

1

2

∠ABC=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∵∠C=∠ABC=∠BDC=72°，
∴△BDC∽△ABC，
∴CD：BC=BC：AC，
∴CD：AD=AD：AC，
∴AD=

5 -1

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AC，
∴BC=

5 -1

2

AB．

點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=

5 -1

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AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．