Question

15．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，DE⊥AC于點E，DG⊥AB于點G，EK⊥AB于點K，GH⊥AC于點H、EK和GH相交于點F．
求證：GE與FD互相垂直平分．

Answer 1

分析 先求出四邊形是平行四邊形，證三角形全等，得出DG=DE，根據(jù)菱形的判定得出即可．

解答 證明：∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC，
∴∠DGB=∠DEC=90°，EK∥DG，DE∥GH，
∴四邊形DEFG是平行四邊形，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DGB和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠DGB=∠DEC}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴△DGB≌△DEC（AAS），
∴DG=DE，
∵四邊形DEFG是平行四邊形，
∴四邊形DEFG是菱形，
∴GE與FD互相垂直平分．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，平行四邊形的判定的應(yīng)用，主要考查學生的推理能力，注意：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．