Question

7．如圖，在△MNQ中QM=QN，∠Q=36°，作∠QMN的平分線ND交QM于D點(diǎn)，求證：MN=QD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$QM．

Answer 1

分析 先根據(jù)三角形內(nèi)角和以及角平分線的定義，得出∠NDM=72°=∠M，DQ=DN，進(jìn)而得到MN=DQ，再根據(jù)∠MND=∠Q=36°，∠DMN=∠NMQ，判定△DMN∽△NMQ，進(jìn)而得出點(diǎn)D是QM的黃金分割點(diǎn)，即可得到MN=QD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$QM．

解答 證明：∵△MNQ中，QM=QN，∠Q=36°，
∴∠M=∠QNM=72°，
∵DN平分∠MNQ，
∴∠DNQ=36°=∠Q，
∴∠NDM=72°=∠M，DQ=DN，
∴DN=MN，
∴MN=DQ，
又∵∠MND=∠Q=36°，∠DMN=∠NMQ，
∴△DMN∽△NMQ，
∴$\frac{DM}{NM}$=$\frac{NM}{QM}$，即$\frac{DM}{DQ}$=$\frac{DQ}{QM}$，
∴點(diǎn)D是QM的黃金分割點(diǎn)，
∴MN=QD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$QM．

點(diǎn)評 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，黃金分割以及相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解題時注意：若點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，則點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．