Question

已知拋物線交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0），交y軸于C點(diǎn)，且x₁＜0＜x₂，（AO+OB）²=12CO+1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸的下方是否存在著拋物線上的點(diǎn)P，使∠APB為銳角？若存在，求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）拋物線y=x²-mx-2m交x軸于A（a，0）和B（b，0），
所以a+b=3m，a•b=-4m，
∵拋物線開(kāi)口向上，與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴C點(diǎn)在Y軸下半軸上，所以點(diǎn)C（0，-2m），-2m＜0，所以m＞0，
AO+OB=|a-b|，OC=|-2m|=2m，
所以（AO+OB）²=（a-b）²=（a+b）-4ab=9m²+16m，
12OC+1=24m+1，
∴9m²+16m=24m+1，
9m²-8m-1=0，
m=1或m=-＜0，舍去，
∴m=1，
即拋物線的解析式為：y=x²-x-2；

（2）易知：A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
連接AC，BC，AC=，BC=2，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
設(shè)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，
那么C′坐標(biāo)為（3，-2），
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知：如果連接AC′、BC′，那么∠AC′B=90°，
因此如果以AB為直徑作圓，那么此圓必過(guò)C，C′，
根據(jù)圓周角定理可知：x軸下方的半圓上任意一點(diǎn)和A、B組成的三角形都是直角三角形，
如果設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，那么必有當(dāng)0＜x＜3時(shí)，∠APB為銳角，
當(dāng)-1＜x＜0或3＜x＜4時(shí)，∠APB為鈍角．
分析：（1）可根據(jù)（AO+OB）²=12CO+1以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求出m的值，進(jìn)而可確定出拋物線的解析式；
（2）本題的關(guān)鍵是找出∠APB為直角時(shí)，P點(diǎn)的位置，根據(jù)（1）的拋物線不難得出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）（4，0）
（0，-2）．如果∠APB為直角，那么點(diǎn)P必為以AB為直徑的圓與拋物線的交點(diǎn)．據(jù)此可判斷出∠APB時(shí)，P點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)解析式的確定等知識(shí)點(diǎn)．要注意的是（2）中結(jié)合圓周角的相關(guān)知識(shí)來(lái)理解問(wèn)題可使問(wèn)題簡(jiǎn)化．