Question

如圖，在⊙O中，AD∥BC，AC⊥BD垂足為E．
（1）求證：BE=CE；
（2）若AD=4，M為AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)ME交BC于F，
①判斷EF與BC的位置關(guān)系；
②求OF的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）易證∠CBE=∠CAD和∠CAD=∠ECB，即可求得∠CBE=∠ECB，即可解題；
（2）①易證AE=DE，根據(jù)M為AD的中點(diǎn)和等腰三角形底邊三線合一的性質(zhì)，可得∠EFC=∠AMD=90°，根據(jù)（1）中結(jié)論BE=CE即可解題；
②連接AO，易證∠AOB=90°，即可求得∠AOM=∠OBF，即可證明△BOF≌△OAM，可得OF=AM，即可解題．

解答：（1）∵

CD

=

CD

，
∴∠CBE=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ECB，
∴∠CBE=∠ECB，
∴BE=CE；
（2）①EF垂直平分BC；
理由：∵AD∥BC，
∴∠CBE=∠ADE，
∵∠CBE=∠CAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∴AE=DE，
∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，
∴EM⊥AD，
∴∠AME=90°，
∵AD∥BC，
∴∠EFC=∠AMD=90°，
∴EF⊥BC，
∵BE=CE，
∴BF=FC，
∴EF垂直平分BC；
②連接AO，

∵OB=OC，
∴O在BC的垂直平分線上，
∴O在EF上；
∵AC⊥BD，
∴∠BEC=90°，
∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴∠BOA=90°，
∵∠AOM+∠BOF=90°，∠BOF+∠OBF=90°，
∴∠AOM=∠OBF，
∵M(jìn)F⊥BC，
∴∠MFC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AME=90°，
在△BOF和△OAM中，

∠AME=∠OFB=90° ∠OBF=∠AOM BO=AO

，
∴△BOF≌△OAM，（AAS）
∴OF=AM=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BOF≌△OAM是解題的關(guān)鍵．