Question

3．已知函數(shù)y=nx^m+mx+2-n（m，n為實數(shù)）．
（1）當m，n取何值時，此函數(shù)是我們學過的哪一類函數(shù)？它與x軸一定有交點嗎？請說明理由；
（2）若它是一個二次函數(shù)，設(shè)它與x軸兩個交點的橫坐標分別為x₁，x₂，若h是關(guān)于n的函數(shù)，且h=x₁+x₂，請結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當h+n＜0時，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一次函數(shù)和正比例函數(shù)以及二次函數(shù)的定義進行解答；
（2）首先求出圖象與x軸的兩個交點的橫坐標，再求出h與n的函數(shù)關(guān)系式，進而求出答案．

解答 解：（1）當m=2，n≠0時，是二次函數(shù)；
當m=1，n≠1或n=0，m≠0是一次函數(shù)；
當m=1，n=2時，是正比例函數(shù)；不可能是反比例函數(shù)；
一定與x軸一定有交點．若是一次函數(shù)，直線必與x軸有交點；
若是二次函數(shù)，△=2²-4n（2-n）=4（n-1）²≥0，與x軸有交點；
（2）由二次函數(shù)y=nx²+2x+2-n分解因式可得y=（x+1）[nx+（2-n）]，
令y=（x+1）[nx+（2-n）]=0，
則x₁=-1，x₂=$\frac{n-2}{n}$；
圖象與x軸的兩個交點的橫坐標分別為x₁=-1，x₂=$\frac{n-2}{n}$；
∴h=x₁+x₂=-$\frac{2}{n}$，根據(jù)圖象可得n＜-$\sqrt{2}$和0＜n＜$\sqrt{2}$時存在h+n＜0．

點評 本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題以及二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的定義，此題難度不大．