Question

2．已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．如圖，已知折痕與邊BC交于O，連結(jié)AP、OP、OA．
①求證：△OCP∽△PDA；
②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長．

Answer 1

分析 ①只需證明兩對對應(yīng)角分別相等即可證到兩個三角形相似；
②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PC長以及AP與OP的關(guān)系，然后在Rt△PCO中運用勾股定理求出OP長，從而求出AB長．

解答 解：①∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．
由折疊可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B．
∴∠APO=90°．
∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC．
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．
∴△OCP∽△PDA．
②∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，
∴$\frac{OC}{PD}$=$\frac{OP}{PA}$=$\frac{CP}{DA}$=$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$．
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．
∵AD=8，
∴CP=4，BC=8．
設(shè)OP=x，則OB=x，CO=8-x．
在Rt△PCO中，
∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8-x，
∴x²=（8-x）²+4²．
解得：x=5．
∴AB=AP=2OP=10．
∴邊AB的長為10．

點評 此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)勾股定理，掌握三角形相似的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．