Question

13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點O是AB上的動點，⊙O過點B交AB于點D，OE⊥AC，垂足為E，DE的延長線交BC的延長線于點F．
（1）若BC=3，AC=4，當DE與⊙O相切時，求⊙O的半徑；
（2）當BF=BD時，AC是⊙O的切線嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理得到AB=5，由DE與⊙O相切，得到∠ODE=90°，推出△ODE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到OE=$\frac{5r}{3}$，OE=$\frac{15-3r}{5}$，于是列方程得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{OD}{BD}$=$\frac{OE}{BF}$，根據(jù)分式的性質(zhì)得到OE=OD，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5，
∵DE與⊙O相切，
∴∠ODE=90°，
∴∠ACB=∠ODE，
∵OE⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠DOE=∠B，
∴△ODE∽△ABC，
∴$\frac{OE}{AB}=\frac{OD}{BC}$，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∴$\frac{OE}{5}=\frac{r}{3}$，
∴OE=$\frac{5r}{3}$，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{OE}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$，
∴$\frac{OE}{3}$=$\frac{5-r}{5}$，
∴OE=$\frac{15-3r}{5}$，
∴$\frac{5r}{3}$=$\frac{15-3r}{5}$，
∴r=$\frac{45}{34}$；
（2）AC是⊙O的切線，
理由：∵OE∥BF，
∴△DOE∽△DBF，
∴$\frac{OD}{BD}$=$\frac{OE}{BF}$，
∵BD=BF，
∴OE=OD，
∵OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切線．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握切線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．