Question

14．函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}+2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+5}$的最小值為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 把原式化為y=$\sqrt{（x+1）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-1）^{2}}$，y 為 動點（x，0）到 A（-1，2）和B（2，1）的距離之和，作點A關(guān)于x軸對稱點點C（-1，-2），連接BC交x軸于點D，D點坐標即為所求的x，求出直線BC的解析式，并求出與x軸的交點的橫坐標，代入原式即可．

解答 解：∵y=$\sqrt{{x}^{2}+2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+5}$=$\sqrt{（x+1）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-1）^{2}}$，
∴y 為 動點（x，0）到 A（-1，2）和B（2，1）的距離之和，
作點A關(guān)于x軸對稱點點C（-1，-2），連接BC交x軸于點D，
D點坐標即為所求的x，
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
把B，C的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2=-k+b}\\{1=2k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴y=x-1，
令y=0，則x=1，
把x=1代入原式得 最小值為$\sqrt{8}$+$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了軸對稱-路徑最短問題，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握利用對稱軸求路徑最短問題是解決問題的關(guān)鍵．