Question

拋物線y=ax²-2ax與x軸正半軸交于B、C為頂點，且點C的縱坐標為2．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點P為拋物線上一點，且△OPC是以OC為直角邊的直角三角形，求點P的坐標．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：計算題

分析：（1）先把y=ax²-2ax配成頂點式，然后根據(jù)頂點的縱坐標為2求出a的值，即可得到拋物線解析式；
（2）根據(jù)拋物線上點的坐標特征設P點坐標為（x，-2x²+4x），再利用兩點間的距離公式得到OP²=x²+（-2x²+4x）²，PC²=（x-1）²+（-2x²+4x-2）²，
再分類討論：當∠PCO=90°時，根據(jù)勾股定理得OC²+PC²=OP²；當∠POC=90°時，根據(jù)勾股定理OC²+PO²=CP²，然后分別得到x的一元二次方程，解方程求出x即可得到滿足條件的P點坐標．

解答：解：（1）∵y=a（x-1）²-a，
∴頂點C的坐標為（1，-a），
而C的縱坐標為2，
∴-a=2，解得a=-2，
∴拋物線解析式為y=-2x²+4x；
（2）設P點坐標為（x，-2x²+4x），
而C（1，2），
則OC²=1²+2²=5，OP²=x²+（-2x²+4x）²，PC²=（x-1）²+（-2x²+4x-2）²，
當∠PCO=90°時，OC²+PC²=OP²，即5+（x-1）²+（-2x²+4x-2）²=x²+（-2x²+4x）²，
整理得4x²-9x+5=0，解得x₁=1（舍去），x₂=

5

4

，
此時P點坐標為（

5

4

，

15

8

）；
當∠POC=90°時，OC²+PO²=CP²，即5+x²+（-2x²+4x）²=（x-1）²+（-2x²+4x-2）²，
整理得4x²-9x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=

9

4

，
此時P點坐標為（

9

4

，-

9

8

），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（

5

4

，

15

8

）或（

9

4

，-

9

8

）．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系，△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．也考查了兩點間的距離公式和勾股定理．