Question

20．已知拋物線y=ax²-2ax與直線l：y=ax（a＞0）的交點(diǎn)除了原點(diǎn)外，還相交于另一點(diǎn)A．
（1）分別求出這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)（可用含a的式子表示）；
（2）將拋物線y=ax²-2ax沿著x軸對(duì)折（旋轉(zhuǎn)180°）后，得到的圖象叫做“新拋物線”，當(dāng)a=1時(shí)，求這個(gè)“新拋物線”的解析式，并判斷這個(gè)“新拋物線”的頂點(diǎn)是否在直線l上．

Answer 1

分析 （1）由y=ax²-2ax=a（x-1）²-a，即可求得這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，又由y=ax²-2ax與y=ax（a＞0）可得拋物線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）、（3，3a），即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）存在．首先求得原拋物線為y=x²-2x，可得新拋物線為y=-x²+2x，直線l：x-y=0．把新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答 解：（1）∵y=ax²-2ax=a（x-1）²-a，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-a），
由y=ax²-2ax與y=ax（a＞0）可得拋物線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）、（3，3a），
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3a）；

（2）∴當(dāng)a=1時(shí)，A坐標(biāo)為（3，3），
∴OA=3$\sqrt{2}$，
∴原拋物線為y=x²-2x，則新拋物線為y=-x²+2x=-（x-1）²+1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）．
把點(diǎn)（1，1）直線l：y=x，得
1=1．
即這個(gè)“新拋物線”的頂點(diǎn)在直線l上．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，以及線段的長(zhǎng)的求解方法等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．