Question

觀察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，將以這三個(gè)等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫出：

1

n(n+1)

=

 

．
（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

．
（3）探究并計(jì)算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

．

Answer 1

考點(diǎn)：有理數(shù)的混合運(yùn)算

專題：規(guī)律型

分析：（1）根據(jù)題中的等式發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律即可；
（2）利用得出規(guī)律變形，計(jì)算即可得到結(jié)果；
（3）原式利用得出的規(guī)律變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n+1-1

n+1

=

n

n+1

；
（3）原式=

1

4

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

1005×1006

）=

1

4

×（1-

1

1006

）=

1005

4024

．
故答案為：（1）

1

n

-

1

n+1

；（2）

n

n+1

點(diǎn)評(píng)：此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．