Question

11．【操作發(fā)現(xiàn)】
如圖①，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．

（1）請(qǐng)按要求畫圖：將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，連接BB′；
（2）在（1）所畫圖形中，∠AB′B=45°．
【問(wèn)題解決】
如圖②，在等邊三角形ABC中，AC=7，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面積．
小明同學(xué)通過(guò)觀察、分析、思考，對(duì)上述問(wèn)題形成了如下想法：
想法一：將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；
想法二：將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．
…
請(qǐng)參考小明同學(xué)的想法，完成該問(wèn)題的解答過(guò)程．（一種方法即可）
【靈活運(yùn)用】
如圖③，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k為常數(shù)），求BD的長(zhǎng)（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析 【操作發(fā)現(xiàn)】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)方向畫出圖形即可；
（2）只要證明△ABB′是等腰直角三角形即可；
【問(wèn)題解決】如圖②，將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，只要證明∠PP′C=90°，利用勾股定理即可解決問(wèn)題；
【靈活運(yùn)用】如圖③中，由AE⊥BC，BE=EC，推出AB=AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD=CG，只要證明∠GDC=90°，可得CG=$\sqrt{D{G}^{2}+C{D}^{2}}$，由此即可解決問(wèn)題；

解答 解：【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖所示，△AB′C′即為所求；

（2）連接BB′，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，
∴AB=AB′，∠B′AB=90°，
∴∠AB′B=45°，
故答案為：45°；

【問(wèn)題解決】如圖②，

∵將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，
∴△APP′是等邊三角形，∠AP′C=∠APB=360°-90°-120°=150°，
∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，
∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，
∴PP′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC，即AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC，
∵∠APC=90°，
∴AP²+PC²=AC²，即（$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC）²+PC²=7²，
∴PC=2$\sqrt{7}$，
∴AP=$\sqrt{21}$，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$AP•PC=7$\sqrt{3}$；

【靈活運(yùn)用】如圖③中，∵AE⊥BC，BE=EC，
∴AB=AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD=CG，

∵∠BAD=∠CAG，
∴∠BAC=∠DAG，
∵AB=AC，AD=AG，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD=kAB，
∴DG=kBC=4k，
∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC=90°，
∴∠GDC=90°，
∴CG=$\sqrt{D{G}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{16{k}^{2}+25}$．
∴BD=CG=$\sqrt{16{k}^{2}+25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似形綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．