Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E是BC邊上的兩點(diǎn)且∠BAC=2∠DAE=2α，點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F．
（1）求證：△ADF∽△ABC；
（2）若α=45°，求證：DE²=BD²+CE²．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等兩三角形相似證明；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可；

解答 證明：（1）∵點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F，
∴∠EAF=∠DAE，AD=AF，
又∵∠BAC=2∠DAE，
∴∠BAC=∠DAF，
∵AB=AC，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AF}$，
∴△ADF∽△ABC；
（2）∵點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F，
∴EF=DE，AF=AD，
∵α=45°，
∴∠BAD=90°-∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF-∠CAD=45°+45°-∠CAD=90°-∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF²=CF²+CE²，
∴DE²=BD²+CE²．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形綜合題，主要利用了軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定，同角的余角相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，此類題目，小題間的思路相同是解題的關(guān)鍵．